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典型习题:(120215)全微分、原函数及欧拉方程综合性问题求解
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习题解答
相关小结
“全微分与原函数及欧拉方程求解”题型的求解思路以及相关的知识点:
1.积分与路径无关的等价描述
定理设D为xOy平面上的单连通区域,函数P(x,y),Q(x,y)在D内有连续的一阶偏导数,则下面的四种说法等价:
(1) 在区域D内存在可微函数u(x,y),使得
(2) 在区域D内成立
(3) 对于任何一条完全落在区域D内的光滑或分段光滑的闭曲线L,有
(4) 对于区域D内的任何两点A,B,积分
的值只与A,B两点的位置有关,而与A间B的曲线在区域D内的路径无关.
2.原函数的基本概念
对于单连通区域D上的微分式P(x,y)dx+Q(x,y)dy,若存在D上的可微函数u(x,y)使得
则称函数u(x,y)为微分式P(x,y)dx+Q(x,y)dy的原函数。并且由积分与路径无关,通过取平行于坐标轴的折线段,任取一个保证折线路径上两个函数偏连续的起点(x0,y0),可得
【注】积分路径上(包括端点)不能有被积函数偏导数不连续的点。
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